Binius STARKs:バイナリ領域における効率的なゼロ知識証明システム

2025-08-08 15:01:38

Binius STARKsの原理とその最適化思考の解析

1 はじめに

STARKsの非効率的な主な理由は、実際のプログラムにおいて大多数の数値が小さいことです。例えば、forループ内のインデックス、真偽値、カウンタなどです。しかし、Merkleツリーに基づく証明の安全性を確保するために、Reed-Solomon符号化を使用してデータを拡張すると、多くの追加の冗長値が全体の領域を占有します。たとえ元の値自体が非常に小さくてもです。この問題を解決するために、領域のサイズを減らすことが重要な戦略となりました。

第1世代STARKsのエンコーディングビット幅は252ビット、第2世代STARKsのエンコーディングビット幅は64ビット、第3世代STARKsのエンコーディングビット幅は32ビットですが、32ビットのエンコーディングビット幅には依然として大量の無駄なスペースが存在します。それに対して、バイナリフィールドはビットを直接操作することを許可し、エンコーディングはコンパクトで効率的であり、無駄なスペースは存在しません。つまり、これは第4世代STARKsです。

Goldilocks、BabyBear、Mersenne31など、近年の新しい研究で発見された有限体と比較して、二進法体の研究は1980年代に遡ります。現在、二進法体は暗号学に広く応用されており、典型的な例には次のものが含まれます：

F28ドメインに基づくAdvanced Encryption Standard (AES)。
ガロアメッセージ認証コード(GMAC)、F2128体に基づいて；
QRコード、F28ベースのリード・ソロモン符号を使用；
原始FRIとzk-STARKプロトコル、そしてSHA-3ファイナルに進出したGrøstlハッシュ関数は、F28フィールドに基づいており、非常に再帰的なハッシュアルゴリズムに適しています。

小さな体を使用する場合、拡張体操作はセキュリティを確保するためにますます重要になります。Biniusが使用する二進法体は、そのセキュリティと実際の可用性を保証するために完全に拡張体に依存する必要があります。ほとんどのProver計算に関与する多項式は拡張体に入る必要はなく、基本体の下で操作するだけで、小さな体で高い効率を実現しています。しかし、ランダムポイントチェックとFRI計算は、必要なセキュリティを確保するために、より大きな拡張体に深入りする必要があります。

バイナリーフィールドに基づいて証明システムを構築する際、2つの実際的な問題が存在します：STARKsにおいてトレース表現を計算する際に使用するフィールドのサイズは多項式の次数より大きくなければならない；STARKsにおけるMerkleツリーのコミットメントでは、Reed-Solomonコーディングを行う必要があり、使用するフィールドのサイズはコーディング拡張後のサイズより大きくなければなりません。

Biniusは、これら二つの問題をそれぞれ処理する革新的な解決策を提案し、同じデータを二つの異なる方法で表現することを実現しました。まず、単変数多項式の代わりに多変数（具体的には多線形）多項式を使用し、その値を「超立方体」（hypercubes）上で取ることで計算軌跡全体を表現します。次に、超立方体の各次元の長さが2であるため、STARKsのように標準的なReed-Solomon拡張を行うことはできませんが、超立方体を正方形（square）として扱い、その正方形に基づいてReed-Solomon拡張を行うことができます。この方法は、安全性を確保しながら、エンコーディング効率と計算性能を大幅に向上させます。

2 原理分析

現在、大多数のSNARKsシステムの構築には通常、以下の2つの部分が含まれています：

情報理論的多項式インタラクティブオラクル証明（Information-Theoretic Polynomial Interactive Oracle Proof, PIOP）：PIOPは証明システムの核心として、入力された計算関係を検証可能な多項式等式に変換します。異なるPIOPプロトコルは、検証者とのインタラクションを通じて、証明者が段階的に多項式を送信することを許可し、検証者は少量の多項式の評価結果を照会することで計算が正しいかどうかを検証できます。既存のPIOPプロトコルには、PLONK PIOP、Spartan PIOP、HyperPlonk PIOPなどがあり、それぞれ多項式表現の処理方法に違いがあり、全体のSNARKシステムの性能と効率に影響を与えます。
多項式コミットメントスキーム（Polynomial Commitment Scheme, PCS）：多項式コミットメントスキームは、PIOPが生成した多項式等式が成立するかどうかを証明するために使用されます。PCSは暗号学的なツールであり、証明者は特定の多項式にコミットし、後でその多項式の評価結果を検証できるとともに、その多項式の他の情報を隠すことができます。一般的な多項式コミットメントスキームにはKZG、Bulletproofs、FRI（Fast Reed-Solomon IOPP）およびBrakedownなどがあります。異なるPCSは異なる性能、安全性、適用シーンを持っています。

具体的な要件に応じて、異なるPIOPとPCSを選択し、適切な有限体または楕円曲線と組み合わせることで、異なる属性を持つ証明システムを構築できます。例えば：

• Halo2：PLONK PIOP と Bulletproofs PCS の組み合わせで、Pasta 曲線に基づいています。Halo2 の設計では、スケーラビリティに重点を置き、ZCash プロトコルの trusted setup を排除しています。

• Plonky2：PLONK PIOPとFRI PCSを組み合わせ、Goldilocks領域に基づいています。Plonky2は効率的な再帰を実現するために設計されています。これらのシステムを設計する際に選択されたPIOPとPCSは、使用される有限体や楕円曲線と一致する必要があり、システムの正確性、性能、および安全性を確保します。これらの組み合わせの選択は、SNARKの証明サイズと検証効率に影響を与えるだけでなく、システムが信頼できる設定なしで透明性を実現できるか、再帰証明や集合証明などの拡張機能をサポートできるかどうかを決定します。

Binius:HyperPlonk PIOP +ブレーキダウンPCS +バイナリドメイン。具体的には、Biniusには、その効率性と安全性を実現するための5つの主要技術が含まれています。まず第一に、バイナリフィールドのタワーに基づく算術がその計算の基礎を形成し、バイナリフィールドでの単純化された演算を実現できます。次に、Biniusは、インタラクティブなOracle Proof Protocol(PIOP)で、HyperPlonk製品と順列チェックを適応させて、変数とその順列との間の安全で効率的な一貫性チェックを確保しました。第 3 に、このプロトコルでは、小さなドメインでのマルチリニア関係の検証効率を最適化するために、新しいマルチリニアシフト引数が導入されています。第 4 に、Binius は Lasso ルックアップ引数の改良版を採用しており、ルックアップメカニズムに柔軟性と強力なセキュリティを提供します。最後に、このプロトコルはスモールフィールド多項式コミットメントスキーム(スモールフィールドPCS)を使用しているため、バイナリドメインに効率的な証明システムを実装し、大規模なドメインに通常関連するオーバーヘッドを削減できます。

2.1 有限体:二値体の塔に基づく算術

タワー型二進法体は、高速で検証可能な計算を実現するための鍵であり、主に二つの側面によるものです：効率的な計算と効率的な算術化です。二進法体は本質的に非常に効率的な算術操作をサポートしており、性能要件に敏感な暗号アプリケーションに理想的な選択肢となっています。さらに、二進法体の構造は簡略化された算術化プロセスをサポートしており、すなわち二進法体上で実行される演算は、コンパクトで検証が容易な代数形式で表現できます。これらの特性に加え、タワー構造を通じてその階層的特性を十分に活用できることにより、二進法体はBiniusのようなスケーラブルな証明システムに特に適しています。

ここで「canonical」とは、バイナリーフィールドにおける要素の唯一かつ直接的な表現方法を指します。たとえば、最も基本的なバイナリーフィールドF2では、任意のkビットの文字列はkビットのバイナリーフィールド要素に直接マッピングできます。これは素数フィールドとは異なり、素数フィールドは指定されたビット数内でこのような規範的な表現を提供できません。32ビットの素数フィールドは32ビット内に含まれることができますが、すべての32ビットの文字列が唯一のフィールド要素に対応できるわけではなく、バイナリーフィールドはこの一対一のマッピングの利便性を持っています。素数フィールドFpにおいて、一般的な縮約方法にはBarrett縮約、Montgomery縮約、Mersenne-31やGoldilocks-64など特定の有限体に対する特殊な縮約方法が含まれます。バイナリーフィールドF2kでは、一般的な縮約方法には特殊な縮約（AESで使用されるもの）、Montgomery縮約（POLYVALで使用されるもの）、および再帰的縮約（Towerなど）が含まれます。論文『Exploring the Design Space of Prime Field vs. Binary Field ECC-Hardware Implementations』は、バイナリーフィールドが加算および乗算においてキャリーを導入する必要がなく、バイナリーフィールドの平方演算が非常に効率的であることを述べています。なぜなら、(X + Y )2 = X2 + Y 2 の簡略化されたルールに従うからです。

図1に示すように、128ビットの文字列：この文字列は、バイナリフィールドの文脈でさまざまな方法で解釈できます。それは128ビットのバイナリフィールドの中のユニークな要素として見なすことができるか、あるいは2つの64ビットタワーフィールド要素、4つの32ビットタワーフィールド要素、16の8ビットタワーフィールド要素、または128のF2フィールド要素として解析できます。この表現の柔軟性は、計算オーバーヘッドを必要とせず、ビット文字列の型変換（typecast）に過ぎず、非常に興味深く有用な特性です。同時に、小さなフィールド要素は、追加の計算オーバーヘッドなしにより大きなフィールド要素にパッケージ化できます。Biniusプロトコルは、この特性を利用して計算効率を向上させています。さらに、「On Efficient Inversion in Tower Fields of Characteristic Two」という論文では、nビットのタワー型バイナリフィールド（mビットのサブフィールドに分解可能）での乗算、平方および逆演算の計算の複雑さについて議論されています。

! Bitlayer研究:Binius STARKsの原理分析と最適化思考

2.2 PIOP: バイナリドメイン用の適応 HyperPlonk プロダクトと PermutationCheck ------

BiniusプロトコルにおけるPIOP設計はHyperPlonkを参考にしており、多項式と多変数集合の正確性を検証するための一連のコアチェックメカニズムを採用しています。これらのコアチェックには以下が含まれます：

GateCheck：秘密証明ωと公開入力xが回路演算関係C(x,ω)=0を満たしているか検証し、回路が正しく動作することを保証します。
PermutationCheck：二つの多変数多項式fとgがブール超立方体上での評価結果が置換関係であるかどうかを検証します。f(x) = f(π(x))、これにより多項式変数間の排列の一貫性が確保されます。
LookupCheck：多項式の評価が指定されたルックアップテーブルに含まれているかを検証します。つまり、f(Bµ) ⊆ T(Bµ)であり、特定の値が指定された範囲内にあることを確認します。
MultisetCheck：2つの多変量集合が等しいかどうかを確認します。すなわち、{(x1,i,x2,)}i∈H={(y1,i,y2,)}i∈H、複数の集合間の一貫性を保証します。
ProductCheck：有理多項式がブール超立方体上での評価がある声明の値∏x∈Hµ f(x) = sに等しいかどうかを検査し、多項式の積の正しさを保証します。
ZeroCheck：多変数多項式がブール超立方体上の任意の点でゼロであるかどうかを検証する∏x∈Hµ f(x) = 0,∀x ∈ Bµ, 多項式のゼロ点分布を確保するため。
SumCheck：多変数多項式の合計が宣言された値∑x∈Hµ f(x) = sであるかどうかを検出します。多変数多項式の評価問題を単変数多項式の評価に変換することで、検証者の計算の複雑さを軽減します。さらに、SumCheckはランダム数を導入することで複数の和の検証インスタンスのバッチ処理を実現します。
BatchCheck：SumCheckに基づき、複数の多変数多項式の評価の正しさを検証し、プロトコルの効率を向上させます。

BiniusはHyperPlonkとプロトコル設計において多くの類似点がありますが、Biniusは以下の3つの側面で改善しています：

ProductCheckの最適化：HyperPlonkでは、ProductCheckは分母Uが超立方体上で常に非ゼロであることを要求し、積は特定の値に等しくなければなりません；Biniusはこの値を1に特化させることで、この検査プロセスを簡素化し、計算の複雑さを低減しました。
ゼロ除算の処理：HyperPlonkはゼロ除算のケースを十分に処理できず、超立方体上のUがゼロでない問題を断言できませんでした。Biniusはこの問題を正しく処理し、分母がゼロであってもBiniusのProductCheckは処理を続けることができ、任意の積の値に拡張を許可します。
列間のPermutationCheck：HyperPlonkにはこの機能がありません；Biniusは複数の列間でPermutationCheckをサポートしており、これによりBiniusはより複雑な多項式の配置状況を処理できるようになります。

したがって、Biniusは既存のPIOPSumCheckメカニズムの改善を通じて、プロトコルの柔軟性と効率を向上させ、特により複雑な多変数多項式の検証を処理する際に、より強力な機能サポートを提供しました。これらの改善は、HyperPlonkの限界を解決するだけでなく、将来のバイナリフィールドに基づく証明システムの基盤を築くものです。